Symmetrische monoidale Kategorie

In der Mathematik ist eine symmetrische monoidale Kategorie eine monoidale Kategorie (d. h. eine Kategorie, in der ein "Tensorprodukt" ${\displaystyle \otimes }$ definiert ist), deren Tensorprodukt symmetrisch ist (d. h. man hat einen natürlichen Isomorphismus zwischen ${\displaystyle A\otimes B}$ und ${\displaystyle B\otimes A}$ für alle Objekte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$).

Ein typisches Beispiele ist die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper.

Definition

Es sei ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$ eine monoidale Kategorie mit Assoziativitätsisomorphismus ${\displaystyle a}$ sowie linken und rechten Einheitsisomorphismen ${\displaystyle l}$ bzw. ${\displaystyle r}$. Die monoidale Kategorie heißt symmetrisch, wenn es zu je zwei Objekten ${\displaystyle A,B}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

gibt, der natürlich in ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ist, so dass die folgenden Diagramme kommutieren:

• Kompatibilität mit dem Einheitsobjekt:

• Kompatibilität mit dem Assoziativgesetz:

• Umkehrregel:

Beispiele symmetrischer monoidaler Kategorien

• Die Kategorie der Mengen mit dem Mengenprodukt als Tensorprodukt und einer einelementigen Menge als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der topologischen Räume mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und einem einelementigen Raum als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Gruppen mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und der trivialen Gruppe als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Ringe mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und dem Nullring als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper mit der direkten Summe als Tensorprodukt und dem Nullvektorraum als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper ${\displaystyle K}$ mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen als Tensorprodukt und dem eindimensionalen Raum ${\displaystyle K^{1}}$ als Einheitsobjekt.
• Für eine gegebene Gruppe ${\displaystyle G}$ die Kategorie der Darstellungen von ${\displaystyle G}$ über einem gegebenen Körper mit dem Tensorprodukt von Darstellungen als Tensorprodukt und der trivialen Darstellung als Einheitsobjekt.

Weblinks

• symmetric monoidal category (nLab)